“数形结合”思想的内涵、发展及其在小学数学教学中的渗透

作者：刘加霞 来源：北京教育学院

在深入教学现场听评课的过程中，在阅读各类期刊杂志的过程中，经常听到或看到“数形结合”这一词汇，老师们都试图在教学中渗透这一思想。确实，“数形结合”是重要的数学思想，也是解决数学问题的有效方法，但审慎观之，却发现有很多老师对“数形结合”的认识有误区：有的“数形结合”至多只是利用形象的直观模型来理解抽象的数学概念与数学概念之间的关系，有的则根本不是渗透“数形结合”思想。

那么，小学数学教师对“数形结合”思想的理解与运用有哪些误区？“数形结合”思想的内涵是什么？其发展脉络与价值是什么？在小学数学教学中有哪些知识点可以渗透“数形结合”思想？

一、借助“直观模型”理解抽象数学内容是渗透“数形结合”思想吗？

借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法，但这一方法与数学意义上的“数形结合”方法的内涵不一致，它至多只能是“数形结合”方法的雏形。例如：

1．“有余数除法的认识”中渗透的是“数形结合”思想吗？

有很多教师在有余数除法的教学中经常设计这样的教学活动：有13个奖片（或者其他物品），每个小朋友分4个，能分给多少个小朋友？

先是学生动手操作，分“模拟”奖片来理解算理，然后利用“圈一圈”活动进一步理解算理，借助于“形”来理解抽象的算式中每个数与运算符号的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系，渗透“数形结合”思想，如下图：

13÷4=3……1

在教学四则运算意义时，教师都会创设与此类似的教学活动，而且明确指出该活动的另一个目的就是渗透“数形结合”思想。可以说，上述教学活动对于学生理解除法，尤其是余数的意义非常重要，动手操作与“圈一圈”是非常有价值的数学活动，但在上述活动中并没有渗透数学意义上的“数形结合”思想。

2．利用“集合图”理解概念之间的关系是渗透数学的思想方法吗？

数学概念是数学大厦的基石，数学概念之间有着千丝万缕的联系，建构数学概念之间的联系即画“概念图”是学习数学的重要方法。例如，有的老师在整理“因数与倍数”这个单元时，画了如下的“集合图”来帮助区分、理解概念之间的关系，同时老师也强调说这是渗透“数形结合”思想。

同样地，这仍不是数学意义上的“数形结合”思想。与此类似的案例还有很多，既然这些不应该看作数形结合思想，那什么是数形结合思想？小学数学教学中能渗透数学结合思想吗？

二、 “数形结合”思想的内涵与发展脉络

“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。

1．“数形结合”思想的内涵

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。在这里，“数”主要指数、数量关系式、运算式、函数关系式、方程等，其核心是抽象的代数式、函数解析式、方程；“形”则主要指几何图形与直角坐标系下的函数图象，对于“几何图形”，我们考虑的是几何图形的形状与大小，例如有几条边、几个角、各边之间的位置关系、边的长度与所围图形的面积等度量特征。对于函数图象，我们考虑的是图象的发展趋势、增长（下跌）的快慢、弯曲程度等。

理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状，例如边长是4厘米、面积是14平方厘米、两条边成45度角等都是运用“数”来刻画图形的度量特征。对函数图象也需要做“细致入微”的分析，例如，每一点处的坐标是多少、斜率是多少，两点之间的长度是多少等都能通过抽象的公式计算出来。通过“数”与“形”的结合，我们对事物、对规律的把握就能既容易又把握得细微、深刻。

“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。

2．“数形结合”思想的历史演进

数的产生源于计数，是对具体物体个数的计数，从而产生数的概念。产生数的概念之后，在古代各种各样的计数法中，都是以具体的“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才脱去了“形”的束缚，使得数的表示更便捷、简约，从而极大地拓展了人们对数的认识和应用。（见本刊2007年11、12期《自然数概念的形成与发展及其对教学的启示》）中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，可以看作是“数形结合”的雏形。

真正将“数”与“形”结合起来的当属古希腊的毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派在研究“数”时，就常常把“数”同沙砾或画在平面上的“点”联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。如下面几副图分别是三角形数，正方形数，五边形数和数与数之间的相互表达：任何一个正方形数都是两个相继的三角形数之和。第n个五边形数等于第（n－1）个三角形的3倍加上n。像这类研究使他们获得了关于整数的许多简明的结果。“形”推动了“数”的发展，这是早期“数”与“形”相结合的体现。

图2  正方形数

图3  五边形数 

图4 Tn+ Tn-1   1+3+5+…（2n-1）=n2  n2=(n-1)2+2n-1

或(n+1)2= n2+2n+1

图5 

古希腊亚历山大时期的欧几里得就是以“几何”的方法来研究代数问题，任何代数问题都要转化为几何问题来解决是古希腊数学的一个特色，他们坚信所有的数都能用几何方法处理。例如，用一段线段的长度代表数1，其他数都依据这段长度来表示，为了表示 ，他们就使用两直角边是一个单位长度的直角三角形的斜边的长度。两个数的乘积，例如3和5的乘积，表示成几何形式就是具有长、宽为3和5的矩形的面积。而4个数的乘积是不可思议的，因为没有相应的集合图形表示4个数的乘积。两数相加看成是一线段的延长，相减说成是从一线段割去另一线段之长[1]。

在“形”的相互关系的比较、度量中，促进了数的概念的发展，其典型例子是无理数的发现，但是古希腊数学的以“几何”为工具来解决代数问题，阻碍了古希腊数学的发展，正如弗赖登塔尔所说“‘几何代数’，这是一种方法论上的教条主义与对严密性作狂热追求相结合的不切实际的产物，它是一种瘟疫，一种终于扼杀了希腊数学的瘟疫[2]”。当然出现这一现状是历史的必然，因为这一切受制于当时人类的认知发展特点（相当于儿童的认知特点），以具体形象思维为主。

当摆脱了“几何”的直观，数学终于又在阿拉伯、印度等地获得了大发展，代数发展达到新的辉煌程度。到十七世纪笛卡尔创立了解析几何学，即用代数的方法来研究几何问题，代数与几何或者说“数”与“形”又再一次结合起来，而且达到了至善至美的地步，数学又获得了空前的发展。

数轴的建立使人类对“形”与“数”的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算（特别是有理数的运算）也可以几何化（具体内容见后文）。在此基础上，笛卡尔把数轴（一维）扩展到平面直角坐标系（二维），把有序数对P（x,y）与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来。于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成相应的代数研究，从而诞生了解析几何这门学科。

例如，要研究两条直线平行，在几何上，我们可以通过平行线性质定理来判定，比如，两条直线被第三条直线所截，如果截得的内错角相等，则这两条直线平行。有了解析几何，在平面直角坐标系下，每条直线都唯一地对应着一个二元一次方程或者一个一元函数，比如直线 对应着 ，直线 对应着 ，通过这两个函数关系式可以看出这两条直线的斜率都是2，所以这两条直线平行，判定两条直线平行不需要前面的判定定理，也不需要画出直观图象，通过判断函数关系式的系数是否相等即可判定其是否平行。这就是用代数方法解决几何问题。

解析几何为几何学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的认识由静态发展到动态，这才是“数形结合”思想的本质所在。

·     继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合。例如数学分析中，导数——切线的斜率；积分——曲边梯形的面积；代数中，方程f（x）=0的根——曲线y=f（x）与x轴的交点等等，近代数学中，从几何的角度看，代数和几何的结合产生了代数几何；分析和几何结合产生了微分几何；而代数几何和微分几何又转过来为代数与分析（以及其它学科）提供几何背景、解释和研究课题，促进它们的发展，并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。可见，“数形结合”也是今日数学发展的必然，“数形结合”贯穿于数学发展的全过程。三、不是“数形结合”的案例

依据前面对数形结合思想的分析我们知道“形”主要指点、线、基本几何图形，运用“数形结合”思想时要研究这些几何图形的形状和它的度量特征。否则很难说是在渗透“数形结合”思想。例如发表在本刊200年11期的《数形结合的完美演绎》一文中所说的几个片段：

师：大家讲得都非常好，现在有更多的图形让我们来仔细观察、看图说话。（出示下图）这些图形一共有几个？你能不能用加法算式来计算呢？想出的算式越多越好。

生：3＋3＋3=9。因为每排都有3个，那3排一共有9个。

生：5＋4=9。5个红色的图形加上其他4个颜色的图形一共有9个。

……

在上述教学片段中，虽然有图形，有算式，但这一活动设计的目的不是渗透“数形结合”思想，因为在该活动中不关注这些图形的形状与度量特征，而是关注图形的“个数”，对图形的个数进行计算。另外，笔者认为，这一活动不仅不能渗透数形结合思想，也不利于小学一年级学生学习加、减法运算（包括理解运算意义与如何运算），因为这样的“图形”不适合作为“学具”，该阶段学习运算的最好学具应是具有齐性、结构性的材料，例如，小木棒、豆子、小石头、计数器、算盘、第纳斯木块等，这样的学具更利于计数个数而排除无关因素的干扰。

（师出示4个完全一样的等腰直角三角形）

师：看着这幅图，你又发现了什么？

生：这4个三角形是按红色、蓝色、红色、蓝色这样排的，它们都有一个直角，而且形状一模一样。

……

师：如果1个三角形代表3，那么拼成的这个正方形代表几？

……

师：（指黄色的1/4圆）如果这部分代表5，那么这一部分（指红色的3/4圆）代表几？

生：这块红色的图形代表15。

师：为什么？

生：因为红色的图形里有3个黄色的图形。

这一教学活动的目的也不是渗透“数形结合”思想，因为该活动中不关注“图形”的几何特征，这里的“图形”起到的只是“符号”的作用，可以说渗透的是“符号思想”，这里的“图形”是未知量 的前身，与数学意义上的“数形结合”思想无关。类似的案例还有：

若 Δ+5=12，求Δ=？

解决上述小问题过程中渗透的也不是“数形结合”思想，而是符号思想。

那么，小学数学教学中能渗透“数形结合”思想吗？

四、“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透

虽然在小学阶段不讲数轴、不讲直角坐标系、不讲函数图象，但“数形结合”思想在小学数学教学中仍有很多“渗透点”。

（一）用好“数尺”、“数线”或数轴，感知“数与形”的结合

由于学生对直尺非常熟悉，因此，可以将直尺抽象为“数尺”，即将“数”有规律、有方向地排列，将抽象的数在可看得见的“数尺（没有刻度，只有自然数）”上形象、直观地表示出来，将数与“位置（还没有“点”的概念）”建立一一对应关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。如下图所示。

“数线”与数轴的区别在于“数线”没有画出“方向”，“数线”与数轴的运用不但能够比较数的大小，而且将“数”与直线上的“点”建立了一一对应关系，而且任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。

数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，例如：

“加法”就是在数轴上继续向右“数”，或者看做是向右平移若干个单位。

“减法”就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左“数”，或者看做是向左平移若干个单位。

“乘法”就是在数轴上几个几个地向右“数”，或者把一“线段”拉长几倍。

“除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地“数”，如果恰好数到“0”，则就是“除尽”，数了几次，商就是几。当不能恰好数到“0”，就产生了“余数”，数轴是理解“有余数除法”的形象化载体。例如，48÷5=9……3

（二）借助线段图，直观形象地理解抽象的数量关系

线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。

例如解决下面的问题时，对比线段图则易于理解算式中的每一符号的意义。

张老师要买一个打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛  衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？

方法一：多数同学的解题方法：

分购买所花的钱数：（800-500）×80%+500+200=940（元）

合着购买所花的钱数：（800+200-500）×80%+500=900（元）

合买比分买省的钱数：940-900=40（元）

方法二：一名学生的解题方法：

200×(1-80%)=40(元)

当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。

生：合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)，所以可以直接用200×(1-80%)=40(元)来进行计算。

这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴涵的数量关系，学生就能很好地理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变简单明了，将抽象的数学问题直观化：

借助线段图，变“看不见”为“看得见”，学生便能清晰直观地看到合买合分买的区别，从图中直观地看出真正省的其实就是200元的20％，所以是40元。将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。

又如，有的问题文字上比较“拗口”，问题解决者的头脑中不易理清数量关系，但是将文字上的数量关系转化为线段图表示时，数量关系就一目了然。

十一快到了，妈妈买了2千克的苹果和5千克的梨，共用去10.8元。已知买2千克梨的钱可以买1千克苹果，每千克苹果、梨各多少元？

（三）借助于“面积模型”理解分数及运算：“数”与“形”的再一次结合

我们曾经介绍过借助于“面积模型”和“集合模型”来理解分数的意义（参见《小学教学（数学版）》2007年第10期），实际上就是将分数与图形结合起来，在学习“异分母分数加减法”时，仍可运用数与形的结合。例如，在讲异分母分数加减法时，例如 + ，学生如何理解异分母分数加减法为什么要通分？我们曾经这样处理：                                                               

 

 

但有很多学生仍不理解。我们又借助于几何画板软件将上述“理性”的抽象思维过程形象化、视觉化，即教师充分利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加、减的道理，直观地理解“通分”的必要性及异分母分数加减法的算理。

利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解透彻，既知其然又知其所以然。事实上也是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，其教学效果显而易见。

（四）渗透“直角坐标系”思想，初步感知函数关系与图象的结合

学习用“数对”表示“位置”时，将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系，是学生进一步理解“数形结合”思想的又一载体，在此过程中学生初步体验到，有了坐标系（参照点即原点、相互垂直的带有方向的两条直线、每条直线上规定单位长度）后，整个平面就“结构化”了，可以用一对有顺序的“数”来唯一地确定平面上的一个“点”，数与形再一次结合。

有对直角坐标系的初步认识，学生在学习“正、反比例关系”时，就可以把具有这种关系的两个量在直角坐标系中“表示”出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图象，借助于形象的图象，来深入理解抽象的函数关系，例如，直观感知两个量的相依相存关系，当成正比例关系时，一个量增加另一个量也随着增加，并且是线性增加；当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少，根据图象可以直观地看出两个量变化的极限状态，一个量趋于无穷，另一个量趋于零。等等。

又如，下面是小明用计算机录入稿件字数的统计图

（1）小明一共录入了（      ）个字。

（2）小明在录入稿件的过程中休息了（    ）分钟。

（3）不算休息时间，小明平均每分钟录入多少个字？

（4）小明在哪段时间内录入速度最快？这说明什么？

A．0—5分

B．10—15分

C．20—25分

D．30—35分

该图就是录入字数随时间的变化而变化的函数图象，该问题也渗透了数形结合的思想。

总之，数形结合是数学问题解决的重要方法，也是一种重要的数学思想，小学数学教学中应有意识地强调与渗透。在小学数学教学中能够渗透数形结合思想的内容还有很多，本文仅是抛砖引玉，试图澄清对数形结合思想的误解，并强化其在教学中正确的渗透。

[1] M.克莱因，《西方文化中的数学》复旦大学出版社，2005年，第37页。

[2] 弗赖登塔尔，《作为教育任务的数学》上海教育出版社，1994年，第5页。